Comment calculer une probabilité conditionnelle avec un arbre pondéré ?

Une probabilité conditionnelle mesure la chance qu’un événement B se réalise sachant qu’un événement A est déjà réalisé. Elle se note P_A(B) et se calcule avec la formule P_A(B) = P(A∩B) ÷ P(A), à condition que P(A) soit différent de 0.

Cet article s’adresse aux élèves de première et de terminale qui rencontrent l’arbre pondéré, les probabilités totales et l’indépendance. Un exemple fil rouge est recalculé étape par étape. Les notations suivent les exercices de première spécialité de l’académie de Nice, sources consultées le 20 octobre 2026.

Qu’est-ce qu’une probabilité conditionnelle ?

Une probabilité conditionnelle est la probabilité d’un événement quand on sait qu’un autre événement s’est produit. La notation P_A(B) se lit « probabilité de B sachant A ». Elle se calcule en divisant la probabilité de l’intersection de A et B par la probabilité de A.

Imaginons un sondage dans un lycée : 60 % des élèves utilisent une application de révision (événement A). Parmi eux, 80 % réussissent le prochain contrôle (événement B). Parmi les autres élèves, 50 % réussissent. Les données du fil rouge sont donc P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,8 et P_Ā(B) = 0,5.

La condition réduit l’univers : au lieu de regarder tous les élèves, on ne regarde plus que ceux qui utilisent l’application. La probabilité de réussir change donc, et passe de la proportion globale à la proportion dans ce sous-groupe.

Comment construire un arbre pondéré ?

Un arbre pondéré se construit en partant d’un événement de départ, puis en traçant les branches de chaque événement avec sa probabilité. Deux règles guident le calcul : la somme des probabilités des branches issues d’un même nœud vaut 1, et la probabilité d’un chemin est le produit de ses branches.

Pour le fil rouge, la première étape comporte deux branches : A avec 0,6 et Ā (l’élève n’utilise pas l’application) avec 0,4. Ensuite, de A partent deux branches : B avec 0,8 et B̄ avec 0,2. De Ā partent B avec 0,5 et B̄ avec 0,5.

La somme des quatre chemins vaut 0,48 + 0,12 + 0,20 + 0,20 = 1, ce qui valide l’arbre. Une somme différente de 1 signale une erreur de branche.

Comment calculer la probabilité d’une intersection ?

Pour calculer P(A∩B), il faut multiplier la probabilité de A par la probabilité de B sachant A. La formule se lit directement sur l’arbre : on multiplie les probabilités rencontrées le long du chemin qui passe par A puis par B.

La formule P(A∩B) = P(A) × P_A(B) découle de la définition de la probabilité conditionnelle. Dans le fil rouge, P(A∩B) = 0,6 × 0,8 = 0,48. Près de la moitié des élèves cumulent donc l’usage de l’application et la réussite au contrôle.

Une erreur fréquente consiste à additionner les probabilités du chemin au lieu de les multiplier. L’addition donnerait 1,4, un nombre supérieur à 1, ce qui est impossible pour une probabilité.

Comment utiliser la formule des probabilités totales ?

La formule des probabilités totales calcule la probabilité d’un événement en additionnant les chemins de l’arbre qui y mènent. Pour B, on additionne P(A∩B) et P(Ā∩B), puisque A et Ā forment une partition de l’ensemble des élèves.

Dans le fil rouge, P(B) = P(A∩B) + P(Ā∩B) = 0,48 + 0,20 = 0,68. Ainsi 68 % des élèves réussissent le contrôle, tous groupes confondus.

Le raisonnement vaut avec plus de deux branches. Si l’élève utilisait trois applications différentes, on additionnerait trois chemins. La méthode reste identique : repérer tous les chemins qui aboutissent à l’événement cherché, calculer chaque produit, puis additionner.

Comment calculer P_B(A), la probabilité « à l’envers » ?

Pour calculer P_B(A), il faut diviser P(A∩B) par P(B). L’arbre ne donne pas cette probabilité directement, car il suit l’ordre A puis B. On calcule d’abord P(B) avec les probabilités totales, puis on applique la définition de la probabilité conditionnelle.

Dans le fil rouge, on choisit un élève qui a réussi le contrôle et on cherche la probabilité qu’il utilise l’application. Le calcul donne P_B(A) = 0,48 ÷ 0,68 = 12 ÷ 17, soit environ 0,706.

Cette probabilité diffère de P_A(B) = 0,8. Confondre les deux revient à confondre « parmi ceux qui utilisent l’application, combien réussissent » avec « parmi ceux qui réussissent, combien utilisent l’application ». Les deux questions n’ont pas la même réponse. Pour un autre usage des probabilités au lycée, notre article sur la loi binomiale prend le relais.

Comment savoir si deux événements sont indépendants ?

Deux événements A et B sont indépendants si la probabilité de leur intersection est égale au produit de leurs probabilités : P(A∩B) = P(A) × P(B). Une condition équivalente est P_A(B) = P(B), ce qui signifie que savoir A ne modifie pas la probabilité de B.

Dans le fil rouge, P(A) × P(B) = 0,6 × 0,68 = 0,408, alors que P(A∩B) = 0,48. Les deux nombres diffèrent, donc A et B ne sont pas indépendants. L’application de révision a bien un lien avec la réussite au contrôle, dans le cadre de ce sondage.

Attention à ne pas confondre indépendants et incompatibles. Deux événements incompatibles n’ont aucun résultat en commun, donc P(A∩B) = 0. Deux événements indépendants ont, eux, une intersection de probabilité P(A) × P(B), nulle seulement si l’un des deux est impossible.

Comment utiliser un tableau d’effectifs à la place de l’arbre ?

Un tableau d’effectifs croisés convient quand l’énoncé donne des nombres d’élèves plutôt que des pourcentages. La probabilité conditionnelle se lit alors comme un quotient d’effectifs : le nombre d’éléments de l’intersection divisé par le nombre d’éléments de la condition. Le résultat est identique à celui de l’arbre.

Exemple : sur 200 élèves, 120 sont des filles et 80 des garçons. Parmi les filles, 90 mangent à la cantine ; parmi les garçons, 40. Le total de cantine vaut 130. La probabilité qu’une fille mange à la cantine est 90 ÷ 120 = 0,75. La probabilité qu’un élève de cantine soit une fille est 90 ÷ 130, soit environ 0,692.

Le tableau et l’arbre racontent la même histoire. Choisir l’un ou l’autre dépend des données de l’énoncé et de la question posée.

Quelles erreurs éviter avec les probabilités conditionnelles ?

Les erreurs les plus fréquentes sont la confusion entre P_A(B) et P_B(A), l’addition des branches d’un chemin au lieu de leur multiplication, des branches dont la somme ne vaut pas 1 et l’assimilation entre événements incompatibles et indépendants. Une vérification systématique suffit.

Garder un cahier d’erreurs avec l’énoncé, la cause et la correction permet de repérer ses confusions habituelles. Notre article sur comment aborder les problèmes de probabilités et de statistiques complète ce travail.

Questions fréquentes sur les probabilités conditionnelles