VanessaLe théorème de Pythagore permet de calculer la longueur d’un côté d’un triangle rectangle quand les deux autres sont connus : le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour un triangle ABC rectangle en A, cela s’écrit BC² = AB² + AC².
Cet article s’adresse aux élèves de collège qui découvrent la notion en 4e et à ceux de lycée qui l’emploient en géométrie repérée. Il présente la formule, une méthode en quatre étapes, la rédaction attendue, la réciproque et les erreurs fréquentes. Les définitions correspondent au cours de 4e du cycle 4 et les exemples sont recalculés un par un, sources consultées le 20 octobre 2026.
Que dit exactement le théorème de Pythagore ?
Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit, et c’est toujours le plus long des trois côtés du triangle.
Trois mots suffisent pour poser le vocabulaire. Les deux côtés qui forment l’angle droit s’appellent les côtés de l’angle droit. Le troisième côté, face à l’angle droit, est l’hypoténuse. Dans le triangle ABC rectangle en A, l’hypoténuse est donc [BC], et la relation s’écrit BC² = AB² + AC².
Le théorème ne fonctionne que dans un triangle rectangle. Avant d’écrire la moindre égalité, il faut donc repérer l’angle droit, codé sur la figure par un petit carré, ou annoncé dans l’énoncé par la formule « rectangle en A ».
Comment calculer la longueur de l’hypoténuse ?
Pour calculer l’hypoténuse, il faut additionner les carrés des deux côtés de l’angle droit, puis prendre la racine carrée du résultat. La racine carrée redonne une longueur, car l’égalité du théorème porte sur des carrés et non sur des longueurs directement.
Exemple : le triangle ABC est rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 8 cm. Le théorème donne BC² = AB² + AC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100. Comme BC est une longueur positive, BC = √100 = 10 cm.
La méthode se retient en quatre étapes :
- Repérer l’angle droit et nommer l’hypoténuse.
- Écrire l’égalité de Pythagore avec les lettres de la figure.
- Remplacer les lettres par les valeurs connues et calculer.
- Prendre la racine carrée et conclure avec l’unité.
Quand le résultat n’est pas un carré parfait, la racine carrée se laisse sous forme exacte ou s’arrondit à la demande de l’énoncé. Pour AB = 3 cm et AC = 5 cm, BC² = 9 + 25 = 34, donc BC = √34 cm, soit environ 5,83 cm au centième près.
Comment calculer un côté de l’angle droit ?
Pour calculer un côté de l’angle droit, il faut soustraire le carré du côté connu au carré de l’hypoténuse, puis prendre la racine carrée. La soustraction remplace l’addition, parce que l’hypoténuse est le terme seul d’un côté de l’égalité de départ.
Exemple : le triangle DEF est rectangle en D avec EF = 13 cm et DE = 5 cm. L’égalité DE² + DF² = EF² donne DF² = EF² − DE² = 169 − 25 = 144. Donc DF = √144 = 12 cm.
Un contrôle rapide évite les erreurs : l’hypoténuse doit rester le plus long côté. Ici 13 cm est bien supérieur à 5 cm et à 12 cm. Si le côté calculé dépasse l’hypoténuse, une addition a pris la place d’une soustraction.
| Longueur cherchée | Opération sur les carrés | Exemple chiffré |
|---|---|---|
| Hypoténuse | Addition des deux carrés | 6² + 8² = 100, donc 10 cm |
| Côté de l’angle droit | Soustraction du carré connu | 13² − 5² = 144, donc 12 cm |
Comment rédiger la démonstration pour obtenir tous les points ?
Une rédaction complète nomme le triangle, précise qu’il est rectangle et en quel sommet, cite le théorème de Pythagore, écrit l’égalité littérale, puis remplace par les valeurs et conclut par une phrase avec l’unité. Chaque ligne a sa place au barème.
Voici le modèle à recopier pour le premier exemple :
- Le triangle ABC est rectangle en A.
- D’après le théorème de Pythagore, BC² = AB² + AC².
- BC² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100.
- BC = √100 = 10, donc la longueur BC mesure 10 cm.
Les correcteurs vérifient trois points. Le triangle est-il justifié comme rectangle ? Le théorème est-il nommé ? La conclusion donne-t-elle l’unité ? Un cahier où chaque erreur est notée aide à ne plus oublier ces éléments, comme le montre notre comparatif du cahier d’erreurs papier ou numérique.
Comment prouver qu’un triangle est rectangle avec la réciproque ?
La réciproque du théorème de Pythagore sert à prouver qu’un triangle est rectangle : si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle. Il faut comparer les deux calculs séparément avant de conclure.
Exemple : un triangle a pour côtés 5 cm, 12 cm et 13 cm. Le plus grand côté mesure 13 cm, donc 13² = 169. De l’autre côté, 5² + 12² = 25 + 144 = 169. Les deux résultats sont égaux, donc le triangle est rectangle et l’angle droit est opposé au côté de 13 cm.
Si les deux nombres diffèrent, la conclusion change. Pour un triangle de côtés 4 cm, 5 cm et 7 cm, 7² = 49 alors que 4² + 5² = 16 + 25 = 41. Les résultats sont différents, donc le triangle n’est pas rectangle.
| Énoncé | Données | Conclusion |
|---|---|---|
| Théorème de Pythagore | Le triangle est rectangle | Une égalité entre carrés de longueurs |
| Réciproque | Une égalité entre carrés est vérifiée | Le triangle est rectangle |
| Contraposée | L’égalité entre carrés est fausse | Le triangle n’est pas rectangle |
Dans quelles situations concrètes le théorème sert-il ?
Le théorème sert dès qu’un triangle rectangle se cache dans une figure : diagonale d’un rectangle, hauteur d’un triangle isocèle, longueur d’une échelle posée contre un mur ou distance entre deux points dans un repère orthonormé. Repérer l’angle droit est la clé.
Pour la diagonale d’un rectangle de 12 cm sur 5 cm, le triangle formé avec deux côtés donne d² = 144 + 25 = 169, donc la diagonale mesure 13 cm. Pour la hauteur d’un triangle isocèle de base 10 cm et de côtés égaux de 13 cm, la hauteur coupe la base en deux parties de 5 cm : h² = 169 − 25 = 144, donc h = 12 cm.
Une échelle de 5 m posée contre un mur avec le pied à 1,5 m du mur atteint une hauteur h telle que h² = 25 − 2,25 = 22,75, donc h ≈ 4,77 m. En lycée, la distance entre A(1 ; 2) et B(4 ; 6) vient du même calcul : AB² = 3² + 4² = 25, donc AB = 5. Notre article sur la géométrie repérée en seconde détaille cette formule.
Quelles erreurs éviter avec le théorème de Pythagore ?
Les erreurs les plus fréquentes sont l’oubli de la racine carrée, l’addition à la place de la soustraction pour un côté de l’angle droit, le mauvais choix de l’hypoténuse et l’oubli de l’unité. Une relecture de chaque ligne suffit à les repérer avant de rendre la copie.
| Erreur | Exemple | Correction |
|---|---|---|
| Racine oubliée | BC = 100 au lieu de 10 | Toujours finir par BC = √BC² |
| Mauvaise opération | DF² = 169 + 25 | Soustraire pour un côté de l’angle droit |
| Mauvaise hypoténuse | Choisir le côté de 5 cm | L’hypoténuse est face à l’angle droit |
| Théorème appliqué sans angle droit | Triangle quelconque | Vérifier d’abord que le triangle est rectangle |
| Unité oubliée | BC = 10 | Écrire BC = 10 cm |
Les calculatrices affichent parfois une valeur décimale à la place de la racine exacte. Les réglages de la machine comptent donc : notre sélection des réglages de calculatrice à éviter au lycée en liste quelques-uns.
Quel exercice travailler selon son niveau ?
Le bon exercice dépend de l’aisance de l’élève : un triangle déjà dessiné suffit pour débuter, une figure à compléter convient ensuite, et un problème à plusieurs étapes entraîne les élèves à l’aise. Passer au palier suivant se fait après trois réussites sans aide.
| Profil | Exercice conseillé | Objectif |
|---|---|---|
| Débutant en 4e | Hypoténuse d’un triangle déjà dessiné, avec des nombres entiers | Retenir la formule et la rédaction |
| Élève en progrès | Côté de l’angle droit avec racine non exacte | Maîtriser la soustraction et l’arrondi |
| Élève à l’aise | Hauteur d’un triangle isocèle ou diagonale d’un pavé | Repérer un triangle rectangle dans une figure |
| Lycéen | Distance entre deux points dans un repère | Relier Pythagore et coordonnées |
Questions fréquentes sur le théorème de Pythagore
À quelle classe apprend-on le théorème de Pythagore ?
Le théorème de Pythagore s’étudie en classe de 4e, au cycle 4 du collège. La réciproque et la contraposée arrivent généralement dans la même année. Au lycée, le théorème sert surtout en géométrie repérée pour calculer des distances entre deux points dans un repère orthonormé.
Comment reconnaître l’hypoténuse dans un triangle rectangle ?
L’hypoténuse est le côté situé en face de l’angle droit, celui qui ne touche pas le sommet de l’angle droit. C’est toujours le plus long côté du triangle. Si le triangle est tourné sur la figure, repérer d’abord le petit carré de l’angle droit.
Peut-on utiliser le théorème de Pythagore dans n’importe quel triangle ?
Non, le théorème s’applique uniquement dans un triangle rectangle. Pour un triangle quelconque, il faut d’autres outils comme la trigonométrie ou les formules d’Al-Kashi vues au lycée. La première étape consiste donc toujours à vérifier ou à démontrer que le triangle possède un angle droit.
Faut-il laisser la racine carrée ou donner une valeur décimale ?
La réponse dépend de l’énoncé. Si le résultat est un carré parfait comme √100, on écrit 10. Sinon, on garde la valeur exacte comme √34 ou on arrondit à la précision demandée, par exemple 5,83 cm au centième. L’unité doit toujours figurer dans la conclusion.
Comment retenir la formule sans se tromper ?
Un seul repère suffit : l’hypoténuse est seule d’un côté de l’égalité, BC² = AB² + AC². Dessiner le triangle et colorier l’hypoténuse aide à ne pas inverser les termes. Refaire trois exemples à la main fixe la formule mieux qu’une relecture du cours.