\documentclass{article}
\usepackage{styles}
\usepackage{arrows}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textit{Analyse}}\lfoot{\textit{Seconde}}


\begin{document}
\begin{center}{\huge{Vecteurs et repres}}\end{center}

\section{Notion de vecteur}
	\subsection{Vecteurs et translation}
	\begin{defi}
		Soit A et A' deux points distincts du plan.
		On appelle \textbf{translation} qui envoie A sur A' la transformation 
	\end{defi}

	\subsection{Vecteurs Žgaux}
		\begin{defi}
			Dire que \f{AB} = \f{CD} signifie que \f{AB} et \f{CD} ont:
			\begin{itemize}
			\item mme direction
			\item mme sens
			\item mme longueur
			\end{itemize}
		\end{defi}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=1]{images/1.png}
		\end{center}
		\rem Lorsque A et B sont confondus, on dit que \f{AB} est le \textbf{vecteur nul} et on le note  \f{0}.
		\begin{prop}
		Soit A, B, C et D quatre points deux ˆ deux distincts. Les vecteurs \f{AB} et \f{CD} sont Žgaux si et seulement si le quadrilatre ABDC est un paralllogramme.
		\end{prop}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=1]{images/2.png}
		\end{center}
		\rem I est le milieu de [AB] Žquivaut ˆ \f{AI}=\f{IB}
		
	\subsection{Vecteurs opposŽs}
		\begin{defi}
			Dire que \f{AB} et \f{CD} sont opposŽs signifie que \f{AB} et \f{CD} ont:
			\begin{itemize}
			\item mme direction
			\item des sens contraires
			\item mme longueur
			\end{itemize}
			On note \f{BA} = - \f{AB}
		\end{defi}
\section{Somme de deux vecteurs}
	\subsection{DŽfinition}
		\begin{defi}
		La somme des deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le vecteur associŽ ˆ la translation rŽsultant de lĠencha”nement des translations de vecteur $\vec{u}$ et de vecteur $\vec{v}$
		\end{defi}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{images/3.png}
	\end{center}
	\subsection{Relation de Chasles}
		\begin{theo}
		Pour tou points A,B et C du plan, on a: \f{AC} = \f{AB} + \f{BC}
		\end{theo}
	\begin{center}
		\includegraphics[scale=1]{images/4.png}
	\end{center}
\section{Produit d'un vecteur par un rŽel et colinŽaritŽ}
	\subsection{Produit d'un vecteur par un rŽel}
		\begin{defi}
		$\vec{u}$ est un vecteur quelconque diffŽrent de $\vec{0}$ et $k$ est un nombre rŽel non nul.On appelle \textbf{produit} du vecteur $\vec{u}$ par le rŽel $k$, le vecteur notŽ $k\vec{u}$:
			\begin{itemize}
				\item de mme direction que $\vec{u}$
				\item de mme sens que $\vec{u}$ si $k>0$, et de sens contraire si $k<0$
				\item de norme Žgale ˆ $\left\{ \begin{array}{l}k \textrm{ fois la norme de }\vec{u}\textrm{ si }k>0;\\-k \textrm{ fois la norme de }\vec{u}\textrm{ si }k<0.\\ \end{array}\right.$
			\end{itemize}
		\end{defi}
	\subsection{ColinŽaritŽ de deux vecteurs}
		\begin{defi}
		Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinŽaires s'ils ont mme direction, c'est ˆ dire qu'il existe un nombre rŽel $k$ tel que $\vec{u}=k\vec{v}$.
		\end{defi}
		\begin{prop}
		A,B,C et D sont quatre points deux ˆ deux distincts du plan.
		\begin{itemize}
			\item (AB) et (CD) parallles Žquivaut ˆ \f{AB} et \f{CD} colinŽaires.
			\item A, B et C alignŽs Žquivaut ˆ \f{AB} et \f{AC} colinŽaires.
		\end{itemize}
		\end{prop}
\section{Repres du plan, coordonnŽes}
	\subsection{Repres du plan}
		\begin{defi}
		On appelle \textbf{repre du plan} tout triplet $(O,\vec{i},\vec{j})$ o O est un point et $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont deux vecteurs non colinŽaires.
		Le repre est dit:
		\begin{itemize}
			\item \textbf{orthogonal} si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ ont des directions perpendiculaires.
			\item \textbf{orthonormŽ} s'il est orthogonal et si $\vec{i}$ et $\vec{j}$ sont de mme norme.
		\end{itemize}
		\end{defi}
	\subsection{CoordonnŽes d'un vecteur}
		\begin{defi}
		Dan un repre $(O,\vec{i},\vec{j})$ du plan, les \textbf{coordonnŽes} de $\vec{u}$ sont celles du point M tel que $\vec{u}=$ \f{OM}.
		\end{defi}
		\begin{center}
			\includegraphics[scale=1]{images/5.png}
		\end{center}
		\begin{prop}
		Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnŽes respectives $(x;y)$ et $(x';y')$ dans un repre  $(O,\vec{i},\vec{j})$.
		\begin{enumerate}
			\item $\vec{u}=\vec{v}$ Žquivaut ˆ $x=x'$ et $y=y'$
			\item Le vecteur $\vec{u}+\vec{v}$ a pour coordonnŽes $(x+x';y+y')$.
			\item Le vecteur $k\vec{u}$ a pour coordonnŽes $(kx;kx')$.
		\end{enumerate}
		De plus, si A et B ont pour coordonnŽes respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$ alors \f{AB} a pour coordonnŽes $(x_B-x_A;y_B-y_A)$.
		\end{prop}
	\subsection{Critre de colinŽaritŽ}
		\begin{prop}
		Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de coordonnŽes respectives $(x;y)$ et $(x';y')$.
		Alors "$\vec{u}$ et $\vec{v}$ colinŽaires" Žquivaut ˆ $xy'-x'y=0$.
		\end{prop}
	\subsection{Milieu d'un segment, distance}
		\begin{prop}
		Soit A et B ont pour coordonnŽes respectives $(x_A;y_A)$ et $(x_B;y_B)$.
		\begin{itemize}
		\item Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnŽes $\big(\dfrac{1}{2}(x_A+x_B);\dfrac{1}{2}(y_A+y_B))$
		\item La distance AB est donnŽe par: $\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
		\end{itemize}
		\end{prop}
		
\end{document}