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\lhead{\textit{Test}}\lfoot{\textit{BTS 2}}
\rfoot{\emph{www.mathematic.fr}}

\begin{document}

\begin{center}{\huge{Test}}\end{center}
\vspace{1cm}

Une machine fabrique plusieurs milliers de bouchons cylindriques par
jour. On admet que la variable alŽatoire $X$ qui, ˆ chaque bouchon,
associe son diam�tre exprimŽ en millim�tres, suit la loi normale de
moyenne $m = 22$ mm et d'Žcart-type $\sigma = 0, 025$ mm.
\vspace{0.5cm}

Les bouchons sont acceptables si leur diam�tre appartient ˆ
l'intervalle $[21, 95; 22, 05]$.

\vspace{0.5cm}

Les trois questions de cet exercice peuvent �tre traitŽes de mani�re
indŽpendante.

\vspace{0.5cm}

\begin{enumerate}
\item{Quelle est la probabilitŽ qu'un bouchon pris au hasard dans
la production soit acceptable?}

\item{Dans cette question,  on consid�re que la probabilitŽ qu'un
bouchon soit dŽfectueux est $q = 0, 05$.

On prŽl�ve au hasard un Žchantillon de 80 bouchons (ce
prŽl�vement est assimilŽ ˆ un tirage de 80 bouchons avec remise). On
nomme $Y$ la variable alŽatoire mesurant le nombre de bouchons
dŽfectueux d'un tel Žchantillon.

	\begin{enumerate}
	\item{Quelle est la loi suivie par la variable alŽatoire $Y$?
	DŽterminer l'espŽrance mathŽmatique de la variable $Y$.}
	\item{On approche $Y$ par une variable alŽatoire $Y_1$ qui
	suit une loi de Poisson ${\cal P} (\lambda)$. Quelle est la valeur du
	param�tre $\lambda$?

	Calculer la probabilitŽ que l'Žchantillon prŽlevŽ
	contienne exactement 10 bouchons dŽfectueux.}
	\end{enumerate}
}
\item{En vue du contr™le de rŽglage de la machine, on prŽl�ve
rŽguli�rement dans la production des Žchantillons de 100 bouchons.

On appelle $\overline X$ la variable alŽatoire qui, ˆ chaque
Žchantillon de 100 bouchons, associe le diam�tre moyen des bouchons de
cet Žchantillon.
\\
Lorsque la machine est bien rŽglŽe, $\overline X$ suit la loi
normale de param�tres $m$ et $\sigma' = \sigma/10$ (on rappelle que
$m=22$ et $\sigma = 0, 025$).

	\begin{enumerate}
	\item{DŽterminer le rŽel $a$ tel que $P (22-a \leq \overline X\leq 22 + a) = 0, 95$.}
	\item{Sur un Žchantillon de 100 bouchons, on a les rŽsultats
suivants (les mesures des diam�tres Žtant rŽparties en classe
d'amplitude $0, 02$ mm):
$$\vcenter{\offinterlineskip \halign{
   % preamble
      #\tv && \cc{$#$}& #\tv
   \cr
   \noalign{\hrule}
      &{\rm Classes\ de\ diametres}&& {\rm effectif\ correspondant}&
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [21, 93 ; 21, 95[ && 3 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [21, 95 ; 21, 97[ && 7 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [21, 97 ; 21, 99[ && 27 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [21, 99 ; 22, 01[ && 30 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [22, 01 ; 22, 03[ && 24 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [22, 03 ; 22, 05[ && 7 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
      & [22, 05 ; 22, 07[ && 2 &
   \cr
   \noalign{\hrule}
}}
$$

En supposant que tous les bouchons d'une classe ont pour diam�tre la
valeur centrale de cette classe, donner la moyenne et l'Žcart-type de
cette sŽrie (aucune justification demandŽe; rŽsultats arrondis ˆ
l'ordre $10^{-4}$).

En utilisant la question prŽcŽdente, peut-on accepter au
seuil de risque $5\%$, l'hypoth�se selon laquelle la machine est bien
rŽglŽe?}
	\end{enumerate}
	
}
\end{enumerate}


 \end{document}