\documentclass{article} \usepackage{styles} \usepackage{arrows} \pagestyle{fancy} \lhead{\textit{Statistiques}}\lfoot{\textit{Seconde}} \begin{document} \begin{center}{\huge{Statistiques \& Žchantillonnage}}\end{center} Un exemple pour tout le cours: \begin{center} \begin{tabular}{cccccc} \hline Salaire mensuel net (en euros) & 1000 & 1200 & 1500 & 2500 & 3000\\ Nombre de personnes & 5 & 8 & 24 & 13 & 2\\ \hline \end{tabular} \end{center} \section{Statistiques descriptives} \subsection{Vocabulaire} \begin{itemize} \item La \textbf{population} dŽsigne l'ensemble des personnes ou objets sur lesquels porte l'Žtude statistique. \item L'ensemble des donnŽes recueillies s'appelle la \textbf{sŽrie statistique}. Elle Žnumre des propriŽtŽs des individus de la population, appelŽs \textbf{caractres}. \ex La population est: ..................................................................................................... Le caractre ŽtudiŽ est: ............................................................................................................ Les valeurs du caractre sont: ..................................................................................................... \item Le nombre d'ŽlŽments de la population pour lesquels la variable prend une valeur donnŽe est lÕ\textbf{effectif} de cette valeur. \item La \textbf{frŽquence} d'une valeur est Žgale ˆ $\dfrac{\textrm{effectif de la valeur}}{\textrm{effectif total}}$ \ex L'effectif total est: ..................................................................................................... L'effectif de la valeur 1200 est: ..................................................................................................... La frŽquence de la valeur 1200 est: ..................................................................................................... \end{itemize} \begin{defi} \begin{itemize} \item Les \textbf{effectifs cumulŽs croissants} donnent les effectifs des valeurs infŽrieures ˆ chaque valeur du caractre. De manire similaire, on peut Žtudier les \textbf{effectifs cumulŽs dŽcroissants}. \item Les \textbf{frŽquences cumulŽes croissantes} donnent les frŽquences des valeurs infŽrieures ˆ chaque valeur du caractre. De manire similaire, on peut Žtudier les \textbf{frŽquences cumulŽes dŽcroissantes}. \end{itemize} \end{defi} \ex Remplir le tableau suivant: \begin{center} \begin{tabular}{lccccc} \hline\vspace{0.3cm} Salaire mensuel net (en euros) & 1000 & 1200 & 1500 & 2500 & 3000\\ \hline\vspace{0.3cm} Effectif cumulŽ croissant & & & & & \\ \hline\vspace{0.3cm} FrŽquence cumulŽe croissante (en \%) & & & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \subsection{ReprŽsentation d'une sŽrie statistique} \begin{enumerate} \item Nuage de points \vspace{5cm} \item Diagrammes en b‰tons \vspace{5cm} \item Histogramme \vspace{5cm} \item courbe des frŽquences cumulŽes \vspace{5cm} \ex Quel est le pourcentage de salariŽs ayant un salaire mensuel infŽrieur ou Žgal ˆ 1200 euros ? \end{enumerate} \subsection{Moyenne} \begin{defi} La \textbf{moyenne} d'une sŽrie statistique dont les valeurs du caractre sont $x_1, x_2, .... x_k$ et les effectifs correspondants: $n_1, n_2,....n_k$ est notŽe $\overline{x}$ et vaut: $$\overline{x}=\dfrac{n_1x_1+...+n_kx_k}{n_1+...+n_k}$$ \ex La moyenne des salaires de l'entreprise est: ...................................................... \end{defi} \subsection{MŽdianes et quartiles} \begin{defi} La \textbf{mŽdiane} $m$ est une valeur du caractre ŽtudiŽ telle que la moitiŽ de l'effectif ait des valeurs infŽrieures ˆ $m$ et l'autre moitiŽ des valeurs supŽrieures ˆ $m$. \end{defi} Pour dŽterminer la mŽdiane de $N$ valeurs, on range ces valeurs par ordre croissant. \begin{itemize} \item si $N$ est impair, la mŽdiane $m$ est la valeur du caractre numŽrotŽ $\dfrac{N+1}{2}$ \item si $N$ est pair, la mŽdiane $m$ est le milieu entre les valeurs numŽrotŽes $\dfrac{N}{2}$ et $\dfrac{N}{2}+1$ \end{itemize} \begin{defi} \begin{itemize} \item Le \textbf{premier quartile} est le plus petit ŽlŽment $Q_1$ des valeurs des termes de la sŽrie, tel qu'au moins 25\% des donnŽes sont infŽrieures ou Žgales ˆ $Q_1$. \item Le \textbf{troisime quartile} est le plus petit ŽlŽment $Q_3$ des valeurs des termes de la sŽrie, tel qu'au moins 75\% des donnŽes sont infŽrieures ou Žgales ˆ $Q_3$. \end{itemize} \end{defi} \ex Pour l'entreprise, la mŽdiane est Žgale ˆ: ......................................................\\ Le premier quartile vaut: ......................................................\\ Le deuxime quartile vaut: ...................................................... \section{Echantillonnage} \subsection{Echantillon} \begin{defi} Un Žchantillon de taille $n$ est obtenu ˆ partir d'une population en rŽitŽrant $n$ fois de suite l'opŽration suivante: on prŽlve au hasard un de ses ŽlŽments, on note la valeur caractre prŽlevŽ et on remet l'ŽlŽment prŽlevŽ dans la population. \end{defi} \rem Souvent, pour des raisons pratiques, il n'y a pas de remise, mais les rŽsultats restent vrais si l'effectif total est trs grand par rapport ˆ l'effectif de l'Žchantillon. \subsection{Intervalle de fluctuation} Soit une population dont on Žtudie un caractre pouvant prendre deux valeurs "vrai" ou "faux". On suppose conna”tre la proportion $p$ (\textbf{proportion effective}) de la population pour laquelle la caractre est vrai, et on mesure la proportion $f$ d'un Žchantillon (\textbf{frŽquence observŽe}). \begin{defi} L'\textbf{intervalle de fluctuation au seuil de 95\%} d'une frŽquence d'un Žchantillon de taille $n$ est l'intervalle I centrŽ autour de la proportion efffective p tel que la frŽquence observŽe f se trouve dans I avec une probabilitŽ Žgale ˆ 0,95. \end{defi} \begin{prop} Soit une population pour laquelle on conna”t la proportion effective p d'un caractre, comprise entre 0,2 et 0,8. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\% de f est l'intervalle $[p-\dfrac{1}{\sqrt{n}};p+\dfrac{1}{\sqrt{n}}]$. \end{prop} \end{document}