\documentclass{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{\textit{Probabilit�s}}\lfoot{\textit{BTS}}

\begin{document}
\begin{center}{\huge{D�nombrement}}\end{center}


\section{Diagrammes, tableaux, arbres}
	voir feuille exercices. 

\section{Permutations}
	\subsection{Un exemple:}
		On  place 5 personnes sur 5 chaises diff�rentes. Le nombre de permutations possibles est 
		$$5\times4\times3\times2\times1=120 $$
		On note ce nombre $5! $
	\subsection{Propri�t� fondamentale:}
		\begin{prop}
		Le nombre de permutations d'un ensemble � n �l�ments est $$n\times (n-1)\times (n-2)\times ... \times 2 \times 1$$ que l'on note $n!$ (se dit 
	� factorielle n �) 
	Par convention, on posera $0!=1 $
	\end{prop}
	
\section{Combinaisons}
		\subsection{Un exemple:}
			On joue au poker avec 52 cartes. Combien y-a-t-il de mains de 5 cartes possibles ?\\
			R�ponse: $$\dfrac{52\times 51\times 50\times 49\times 48}{5!}$$
			que l'on peut �crire aussi
			$$\dfrac{52!}{47!\times 5!}$$
			soit 2598960 possibilit�s.
			
	\subsection{Propri�t� fondamentale:}
	\begin{prop}
	Le nombre de combinaisons de p �l�ments parmi n �l�ments vaut:
	$$\dfrac{n!}{(n-p)!p!}$$
	Notation: on note ce r�sultat  $C_n^p$ ou bien $\genfrac(){0pt}0np$.
\end{prop}

\ex Pour remplir une grille de loto, il faut cocher 6 cases sur 49. Combien y-a-t-il de grilles possibles ?
R�ponse: $C_{49}^6=13983816$ grilles.

\subsection{Propri�t� des $C_n^p$ et triangle de Pascal:}
$$C_n^0=1\qquad\qquad C_n^n=1\qquad\qquad C_n^{n-p}=C_n^p\qquad\qquad  C_{n+1}^{n-1}=C_n^{p+1}+C_n^p$$ 

 Cette derni�re relation permet de construire le triangle de Pascal:


	\begin{center}\includegraphics[scale=0.5]{images/pascal}\end{center}

\end{document}