\documentclass{article}
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\usepackage{arrows}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\textit{Probabilit�s}}\lfoot{\textit{BTS}}

\begin{document}
\begin{center}{\huge{Loi normale (dite de Laplace-Gauss)}}\end{center}


\section{Cas g�n�ral}
	\subsection{D�finition:}
		\begin{defi}
			Une variable al�atoire {\bf continue} $X$ suit une {\sl loi normale de
			param�tres $m$ et $\sigma$} lorsque pour tout $k\in\R$
			$$P(X=k)=\int_{-\infty}^{k} f(x)dx$$ avec la fonction $f$ d�finie par
			$${f (x) = {1\over \sigma \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{1\over2} \left( {x-m \over
			   \sigma}\right)^2}}\quad\sigma \geq 0\quad {et} \quad m \in \R.$$
		\end{defi}

		Elle est not�e ${\cal N} (m, \sigma)$ et on montre que sa variance et
		son �cart-type v�rifient:
		$${E (X) = m}\qquad \qquad V (X) = \sigma^2\qquad {\rm et} \qquad\sigma (X) = \sigma$$
	
	\subsection{Etude des variations de la fonction $f$}
	On remarque que $f (x+m) = f (x-m)$\\
	
	La courbe $C_f$ pr�sente donc une sym�trie par rapport � l'axe
	vertical d'�quation $x=m$.
	
	On a 
	$\displaystyle{
	   f' (x) = {1\over \sigma \sqrt{2\pi}} \cdot
	      e^{-{1\over2} \left( {x-m \over \sigma}\right)^2} \cdot
	      \left( - {1\over2}\right) 2 \cdot
	      \left( {x-m \over \sigma}\right)^1 \cdot
	      {1\over \sigma}
	}$, du signe oppos� � $(x-m)$. d'o� le tableau de variations:
	
	$$\vcenter {\offinterlineskip
	   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
	   \halign {
	   % preamble
	      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
	   \cr
	      x&& -\infty && m&& +\infty
	   \cr
	   \noalign {\hrule height 1pt }
	      f' (x)&& &+& 0& -
	   \cr
	   \noalign {\hrule height 1pt}
	      \buucenter {$f (x)$}&&  \down {0}&
	      \brightuuparrow & \buup{$\displaystyle{1\over \sigma \cdot \sqrt{2\pi}}$}& 
	      \brightddownarrow  & \down {0}
	   \cr
	}}
	$$

\section{Loi normale centr�e r�duite}
	\subsection{D�finition}
		On appelle {\sl loi normale centr�e r�duite\/} la loi normale ${\cal
		N} (0, 1)$ de param�tres $m = 0$ et $\sigma = 1$. Et on a le th�or�me
		suivant, qui permet de ramener l'�tude de toute loi normale � l'�tude
		de la loi normale centr�e r�duite.\\
		
		\begin{theo}
			Si une variable al�atoire $X$ suit la loi normale ${\cal N} (m,
			\sigma)$, alors la variable al�atoire $\displaystyle T = {X-m \over
			\sigma}$ suit la loi normale centr�e r�duite ${\cal N} (0, 1)$.
		\end{theo}
		
		La densit� de probabilit� de cette loi, et la fonction de r�partition
		sont donn�es par: 
		$$ f (t) = {1\over \sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{t^2\over2}},
		      \qquad {\rm et} \qquad
		      P (T \leq t) = \Pi (t) = \int_{-\infty}^t f (t) \, dt
		$$
		alors qu'esp�rance, variance et �cart-type sont donn�s par
		$$E (T) = 0 \qquad \qquad V (T) = 1 \qquad \qquad\sigma (T) = 1$$
	
	\subsection{Exemples}
		\begin{enumerate}
			\item{Calcul de $P(T\leq1,67)= \Pi (1,67)$}
			\item{Calcul de $P(T\geq1,25)= 1-\Pi (1,25)$}
			\item{Calcul de $P(T\leq-1,67)= 1-\Pi (1,67)$}
			\item{Calcul de $P ((t_1 \leq T \leq t_2)$}
			\item{Calcul dans le cas particulier o� $t_1 = -t_2$}
		\end{enumerate}
		
\section{Approximation d'une loi bin�miale par une loi normale}

	Si $n$ est "grand" et $p$ ni "trop proche de 0", ni "trop proche de 1", alors la loi ${\cal B}(n,p)$ est tr�s proche de la loi  ${\cal N} (m, \sigma)$ o� $m=np$ et $\sigma=\sqrt{np(1-p)}$. La moyenne et l'�cart-type sont conserv�s.
	\begin{center}
	\includegraphics[scale=0.3]{images/approx}
	
	Approximation de la loi ${\cal B}(100;0,15)$ par la loi ${\cal N} (15,\sqrt{100\times0,15\times0,85})$
	\end{center}

\end{document}