\documentclass{article}
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\pagestyle{fancy}
\lhead{\textit{Analyse}}\lfoot{\textit{BTS}}

\begin{document}
\begin{center}{\huge{Equations diffŽrentielles}}\end{center}


\section{Introduction}
	Un Žquation diffŽrentielle est une Žquation dont l'inconnue n'est pas un nombre, mais une fonction.Par exemple:
	$$f'=f$$
	$$2xf'(x)+3f(x)=x$$
	\\
	Notation: par convention, on note souvent $y$ au lieu de $f$ ce qui donne l'Žquation $y'=y$.\\
	
	\begin{itemize}
	\item{Lorsque la dŽrivŽe intervient dans l'Žquation, c'est un Žquation diffŽrentielle du 1er ordre. Exemple: $y'-3y=5x$}
	\item{Lorsque la dŽrivŽe seconde intervient dans l'Žquation, c'est un Žquation diffŽrentielle du 2�me ordre. Exemple: $2xy''-2y+3=0$}
	\end{itemize}
	
	
	Remarque:
	On peut rencontrer (par exemple en physique) les notations  $\dfrac{dy}{dx}$ pou $y'$ ou bien $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ pou $y''$.

\section{Solutions d'une Žquation diffŽrentielle}
	\begin{theo}
	Toute Žquation diffŽrentielle admet une infinitŽ de solutions.
	\end{theo}
	Exemple: Trouver des solutions des Žquations suivantes:
	\begin{itemize}
	\item{$y'=0$}
	\item{$y''+y'+3y=6$}
	\item{$y'+y=7x+7$}
	\item{Montrer que la fonction $g(x)=xe^{-x}$ est une solution particuli�re de l'Žquation $y'+y=0$.}
	\end{itemize}
	
	\section{RŽsolution d'une Žquation diffŽrentielle homog�ne}
	\subsection{DŽfinition}
	Les Žquations du type $a(x)y'+b(x)y=0$ et $ay''+by'+cy=0$ sont appelŽes Žquations homog�nes (sans second membre)

	\subsection{RŽsolution}
	       \begin{center}\includegraphics[scale=0.35]{images/form.jpg}\end{center}
		
		Remarque:\\
		On retrouve le thŽor�me de Terminale:
		les solutions de l'Žquation $y'=ay$ sont les fonctions de la forme $$y(x)=ke^{ax}$$
		\\
		Exercice:\\
		RŽsoudre les Žquations diffŽrentielles suivantes:
		$$y'-2y=0$$
		$$y'=-\frac{y}{4}$$
		$$y'+4y=0$$
		$$10y'-y=0$$
		$$y''+3y'+2y=0$$
		$$y''-y=0$$
		$$y''+2y'-3y=0$$
		$$y''-2y'+y=0$$
		$$y''-4y'+4y=0$$
		$$y''-4y'+8y=0$$
		$$y''-2y'+2y=0$$
	
\section{RŽsolution d'une Žquation diffŽrentielle quelconque}
	\begin{theo}
	La solution gŽnŽrale d'une Žquation diffŽrentielle est obtenue en ajoutant une solution particuli�re ˆ la solution gŽnŽrale de l'Žquation homog�ne associŽe. 
	\end{theo}
\section{Un exemple complet}
	RŽsoudre l'Žquation diffŽrentielle:
	$$y'-2xy=2x$$

\end{document}