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\lhead{\textit{Analyse}}\lfoot{\textit{BTS}}


\begin{document}
\begin{center}{\huge{DŽveloppements limitŽs}}\end{center}


\section{Un exemple pour comprendre}
	La fonction exponentielle $f(t)=e^t$ est dŽrivable en 0 avec $f'(0)=1$, ce qui s'Žcrit:
	$$\lim_{t\to 0} \dfrac{f(t)-f(0)}{t}=1\qquad \textrm{soit}\qquad \lim_{t\to 0} \dfrac{e^t-1}{t}=1$$ou bien, au voisinage de $t=0$
	$$f(t)=f(0)+tf'(0)+t\epsilon_1(t)\quad \textrm{avec}\qquad\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
	$$\textrm{soit, dans l'exemple } e^t=1+t+t\epsilon_1(t)\quad \textrm{avec}\qquad\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
	
	Cette derni�re expression signifie que le polyn™me $1+t$ fournit une valeur approchŽe de $e^t$ pour $t$ voisin de 0.
	
	\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{images/graphe1.png}\end{center}
	
	On peut chercher une approximation plus prŽcise de la courbe, en rŽitŽrant le procŽdŽ avec la dŽrivŽe seconde $f''$:
	$$f'(x)=f'(0)+xf''(0)+x\epsilon_2(x)\quad \textrm{avec}\qquad\lim_{x\to 0}\epsilon_2(x)=0$$
	et en intŽgrant:
	$$\int_0^t f'(x)dx=\int_0^t f'(0)dx+\int_0^t xf''(0)dx+\int_0^t x\epsilon_2(x)dx$$
	$$f(t)-f(0)=tf'(0)+\dfrac{t^2}{2}f''(0)+\int_0^t x\epsilon_2(x)dx$$
	$$f(t)=f(0)+tf'(0)+\dfrac{t^2}{2}f''(0)+\int_0^t x\epsilon_2(x)dx$$
	et en posant $\epsilon_3(t)=\displaystyle\frac{1}{x^2}\int_0^t x\epsilon_2(x)dx$ on obtient l'ŽgalitŽ suivante:
	$$f(t)=f(0)+tf'(0)+\dfrac{t^2}{2}f''(0)+t^2\epsilon_3(t)$$
	et on prouve que $\displaystyle\lim_{t\to 0}\epsilon_3(t)=0$. 
	Dans notre exemple prŽcŽdent, on a donc:
	$$e^t=1+t+\frac{t^2}{2}+t^2\epsilon_1(t)\quad \textrm{avec}\qquad\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
	
	\begin{center}\includegraphics[scale=0.7]{images/graphe2.png}\end{center}
	
	Ainsi on obtient, en gŽnŽralisant, la formule de Taylor-Maclaurin:
	$$f(t)=f(0)+tf'(0)+\dfrac{t^2}{2}f''(0)+\dfrac{t^3}{3!}f^{(3)}(0)+...+\dfrac{t^n}{n!}f^{(n)}(0)+t^n\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
	
\section{DŽveloppements limitŽs des fonctions usuelles}
	(voir formulaire BTS)

\section{OpŽrations algŽbriques}
	\subsection{Somme de fonctions}
		DŽterminons le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction dŽfinie par:
		$$f(t)=e^t+\dfrac{1}{1+t}$$
		D'apr�s le formulaire, on a les dl suivants:
		$$e^t=1+t+\dfrac{t^2}{2}+\dfrac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
		$$\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+t^3\epsilon_2(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_2(t)=0$$
		En ajoutant terme ˆ terme et en posant $\epsilon(t)=\epsilon_1(t)+\epsilon_2(t)$, on obtient:
		$$f(t)=e^t+\dfrac{1}{1+t}=2+\dfrac{3}{2}t^2-\dfrac{5}{6}t^3+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
	\subsection{Produit de fonctions}
		DŽterminons le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction dŽfinie par:
		$$f(t)=\sin t\cos t$$
		On a:
		$$\sin t=t-\dfrac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(t)=0$$
		$$\cos t=1-\frac{t^2}{2}+t^3\epsilon_2(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_2(t)=0$$
		donc $$\sin t\cos t=\left(t-\frac{t^3}{6}+t^3\epsilon_1(t)\right)\left(1-\frac{t^2}{2}+t^3\epsilon_2(t)\right)$$
		$$\sin t \cos t=t-\frac{2}{3}t^3+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec } \epsilon(t)=t\epsilon_2(t)+\frac{t^2}{12}-\frac{t^3}{6}\epsilon_2(t)+\epsilon_1(t)-\frac{t^2}{2}\epsilon_1(t)+t^3\epsilon_1(t)\epsilon_2(t)$$
		et on a bien $$\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$
	\subsection{Composition}
		DŽterminons le dl d'ordre 3 en 0 de la fonction dŽfinie par:
		$$f(t)=\sin 2t$$
		On a:
		$$\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+x^3\epsilon_1(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{x\to 0}\epsilon_1(x)=0$$
		en posant $x=2t$ on en dŽduit:
		$$\sin 2t=2t-\dfrac{(2t)^3}{6}+(2t)^3\epsilon_1(2t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(2t)=0$$
		$$\sin 2t=2t-\dfrac{8t^3}{6}+8t^3\epsilon_1(2t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon_1(2t)=0$$
		en posant $\epsilon(t)=8\epsilon_1(2t)$ on a le dl cherchŽ:
		$$\sin 2t=2t-\dfrac{8t^3}{6}+t^3\epsilon(t)\qquad\textrm{avec}\lim_{t\to 0}\epsilon(t)=0$$



 \end{document}