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\lhead{\textit{ProbabilitŽs}}\lfoot{\textit{BTS 2}}
\rfoot{\emph{www.mathematic.fr}}

\begin{document}
\begin{center}{\huge{Loi binomiale - Loi de Poisson}}\end{center}


\section{Loi binomiale}
\subsection{Introduction:}
Un lecteur mp3 contient 2/3 de titres anglais et 1/3 de titres fran�ais. On crŽe au hasard une playlist de 3 morceaux (avec possibilitŽ de rŽpŽter plusieurs fois le m�me titre). Quelle est la probabilitŽ d'obtenir 2 titres fran�ais dans cette playlist ?

\subsection{DŽfinition:}
On consid�re une expŽrience alŽatoire qui:
\begin{itemize}
\item{a deux issues possibles (appelŽes succ�s de probabilitŽ $p$ et Žchec de probabilitŽ $q=1-p$)} 
\item{se rŽp�te plusieurs fois ($n$ fois)}
\item{est indŽpendante des rŽpŽtitions prŽcŽdentes} 
\end{itemize}
Si on note $X$ la variable alŽatoire qui compte les succ�s, on a: 
$$P(X=k)=C_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k}$$
On dit alors que $X$ suit une loi binomiale de param�tres $n$ et $p$ et on note $X\backsim {\cal B}(n,p)$.

\subsection{Exemple:}

On lance une pi�ce de monnaie 60 fois de suite. Quelle est la probabilitŽ dÕobtenir 25 Pile ?
$$P(X=25)=C_{60}^{25}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{25}\times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{35}$$

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.4]{images/binomiale}
\end{center}

\subsection{Indicateurs de position et de dispersion:}
Si $X\backsim {\cal B}(n,p)$ alors:
\begin{itemize}
	\item $E(X)=np$
	\item $V(X)=np(1-p)$
	\item $\sigma(X)=\sqrt{np(1-p)}$
\end{itemize}

\section{Loi de Poisson}
\subsection{DŽfinition:}
On dit qu'une variable alŽatoire dŽnombrable $X$, ˆ valeurs dans
$\N$, suit une {\sl loi de Poisson de param�tre $\lambda$}
($\lambda>0$), si et seulement si, pour tout entier naturel $k$,
$$p (X = k) = e^{-\lambda} {\lambda^k \over k!}$$

On note ${\cal P} (\lambda)$ cette loi, et on montre alors que son
espŽrance, sa variance et son Žcart-type vŽrifient
$$
E (X) = \lambda
      \qquad \qquad
V (X) = \lambda
      \qquad \qquad
\sigma (X) = \sqrt{\lambda}
$$

Dans la pratique, si $n$ est \og grand\fg, $p$ \og voisin\fg\ de $0$
et $np$ pas \og trop grand\fg, on consid�re en gŽnŽral la loi de
Poisson de param�tre $np$ comme une {\sl bonne approximation\/} de la
loi bin™miale. Plus prŽcisŽment, si $n \geq 50$, $p\leq 0, 01$ et
$np\leq 10$, alors on consid�re que la loi ${\cal B} (n, p)$ est \og
proche\fg\ de la loi ${\cal P} (np)$, ce qui permet d'utiliser la loi
de Poisson (ˆ un seul param�tre) plut™t que la loi bin™miale (ˆ deux
param�tres).

On retiendra que, {\bf sous certaines conditions, on peut approcher une loi
bin™miale par une loi de Poisson ayant la m�me espŽrance}. 

\subsection{Exemple:}

Une usine produit des bouteilles dÕeau. Parmi celles-ci, 3\% sont dŽfectueuses. 
On appelle $X$ la variable alŽatoire qui, ˆ tout lot de 100 bouteilles prises au hasard, associe le nombre de bouteilles 
dŽfectueuses. On admet que $X$ suit une loi de Poisson de param�tre 3. 
DŽterminer la probabilitŽ qu'un tel lot ait deux bouteilles dŽfectueuses.

$$P(X=k)=e^{-3}\dfrac{3^2}{2!}$$

\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{images/poisson}
\end{center}

\end{document}