\documentclass{article}
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\pagestyle{fancy}\fancyhf{}
\lhead{\textit{DS}}\lfoot{\textit{BTS 2}}
\rfoot{\emph{www.mathematic.fr}}

\begin{document}

\begin{center}{\huge{Devoir surveillŽ n¡1 - corrigŽ}}\end{center}

\vspace{1cm}

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\exo{Amplificateurs}

\begin{enumerate}
\item{ProbabilitŽ qu'il y ait un signal ˆ la sortie: $P(A\cup B)=0,8+0,9-0,72=0,98$\\
ProbabilitŽ qu'il n'y ait pas de signal de sortie: $1-P(A\cup B)=1-0,98=0,02$}
\item{A ne fonctionne pas dans 30 \% des cas, donc $P(A)=0,7$\\
B fonctionne dans 85\% donc $P(B)=0,85$ et dans 5\% des cas, on n'a pas de signal ˆ la sortie, donc $P(A\cup B)=0,95$.\\
On a donc $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)=0,6$}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

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\exo{Chaudi�res}

\begin{enumerate}
\item{$P(A)=3/5$, $P(B)=2/5$ , $P_A(D)=1/100$ et $P_B(D)=5/100$}
\item{$P(D\cap A)=P_A(D)\times P(A)=3/500=0,006$ et $P(D\cap B)=P_B(D)\times P(B)=1/50=0,02$}
\item{$D\cap A$  reprŽsentent les chaudi�res ˆ cheminŽe prŽsentant un dŽfaut et  $D\cap B$ les chaudi�res ˆ ventouse prŽsentant un dŽfaut. Ils sont bien incompatibles.\\
 Donc $P(D)=P(D\cap A)+P(D\cap B)=0,026$ et $P(\overline{D})=1-0,026=0,974$.}
\end{enumerate}



\vspace{1cm}
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\exo{Equations diffŽrentielles}

\begin{enumerate}
	\item{La solution gŽnŽrale de $(E_0)$ s'Žcrit $y(x)=ke^{-G(x)}$ avec $G$ primitive de 1, c'est ˆ dire $G(x)=x$.
	On obtient donc $$y(x)=ke^{-x}\quad avec \quad k\in\R$$}
	\item{On remplace $y$ par $g$ dans le premier membre de l'Žquation $(E)$. On doit donc calculer $g'$:
	$$g'(x)=(2x+3)e^{-x}-(x^2+3x)e^{-x}=e^{-x}(-x^2-x+3)$$
	Ainsi, on a $$g'+g=e^{-x}(-x^2-x+3)+(x^2+3x)e^{-x}=e^{-x}(-x^2-x+3+x^2+3x)=(2x+3)e^{-x}$$
	donc $g$ est bien une solution particuli�re de l'Žquation diffŽrentielle $(E)$.}
	\item{La solution gŽnŽrale sur $\R$ de l'Žquation diffŽrentielle $(E)$ s'Žcrit donc:$$y(x)=ke^{-x}+(x^2+3x)e^{-x}\quad avec \quad k\in\R$$}
	\item{$f(0)=1\ev ke^0+0=1$ donc $k=1$ et la solution particuli�re $f$ s'Žcrit $$f(x)=e^{-x}(x^2+3x+1)$$.}
\end{enumerate}

 \end{document}