\documentclass{article}
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\lhead{\textit{DS}}\lfoot{\textit{BTS 2}}
\rfoot{\emph{www.mathematic.fr}}

\begin{document}

\begin{center}{\huge{Devoir surveillŽ n¡1 - corrigŽ}}\end{center}
\vspace{2cm}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------
\exo


\begin{enumerate}
\item {La variable $X$ suit la loi normale ${\cal N} (400, 40)$, donc
la variable $T$ dŽfinie par $T = (X-400)/40$ suit la loi normale
${\cal N} (0, 1)$. \\
On a donc
   $P (X \leq 318) = P (X-400 \leq 318 - 400)
   = P \left( {X - 400 \over 40} \leq {318 - 400 \over 40} \right)
   $\\
   $
   = P \left( T \leq {318 - 400 \over 40} \right)
      = P (T \leq -2, 05)
   = P (T \geq 2, 05) \quad \hbox{vu la symŽtrie de la courbe de la
loi ${\cal N} (0, 1)$}$\\
$   = 1 - \Pi (2, 05) = 1 - 0, 979\, 8
      \qquad {\rm soit} \qquad
   {P (X \leq 318) = 0, 0202}$
}

\item{
	\begin{enumerate}
	\item{On proc�de 50 fois de suite ˆ l'expŽrience \og {\sl prŽlever un
moteur dans la production}\fg. Les {\bf 50 tirages sont considŽrŽs
indŽpendants}, et il n'y a {\bf que deux issues} qui nous interressent~:
le moteur tirŽ est ou non commercialisable, la probabilitŽ qu'un
moteur soit non commercialisable Žtant $p = 0, 02$. On est dans le cadre d'un
schŽma de Bernouilli, et la variable $Y$ suit {la loi
bin™miale ${\cal B} (50\, ; 0, 02)$}.
}
	\item{Si l'on a au plus trois moteurs non commercialisables, c'est
que $Y \leq 3$. \\
D'o� le calcul suivant, en notant $p = 0, 02$ et $q =
1 - p = 0, 98$~:\\
$
   p (Y \leq 3) = p (Y = 0) + p (Y = 1) + p (Y = 2) + p (Y = 3)
   $\\\\
   $
= C_{50}^0 p^0 q^{50} + C_{50}^1 p^1 q^{49} + C_{50}^2 p^2 q^{48}
   + C_{50}^3 p^3 q^{47}
   $\\\\
   $
= q^{50} + 50 p q^{49} + {50 \times 49 \over 2} p^2 q^{48} + {50
   \times 49 \times 48 \over 3 \times 2} p^3 q^{47}
   $\\\\
   $
\approx 0, 364\, 2 + 0, 371\, 6 + 0, 185\, 8 + 0, 060\, 7
      \qquad {\rm soit} \qquad
{p (Y \leq 3) \approx 0, 982\, 2}
$
}
	\end{enumerate}
	}
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
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\exo


\begin{enumerate}
	\item $X$ suit une loi binomiale car il s'agit d'une expŽrience que l'on peut assimiler ˆ un tirage alŽatoire ˆ deux issues (en panne ou non), qui se rŽp�te 150 fois, de mani�re indŽpendante. Sachant que 2\% des ordinateurs tombent en panne, $p=0,02$.On notera $q=1-p$.
		\begin{itemize}
			\item $P(A)=P(X=5)=C^{5}_{150}p^5q^{145}=0,101$
			\item $P(B)=P(X\leq 3)=C^{0}_{150}p^0q^{150}+C^{1}_{150}p^1q^{149}+C^{2}_{150}p^2q^{148}+C^{3}_{150}p^3q^{147}=0,647$
			\item $P(C)=P(4\leq X\leq 6)=C^{4}_{150}p^4q^{146}+C^{5}_{150}p^5q^{145}+C^{6}_{150}p^6q^{144}=0,320$
		\end{itemize}
	\item $\lambda=np=3$
	\item \begin{itemize}
			\item $P(A)=\dfrac{e^{-3}3^5}{5!}=0,101$
			\item $P(B)=P(X\leq 3)=\dfrac{e^{-3}3^0}{0!}+\dfrac{e^{-3}3^1}{1!}+\dfrac{e^{-3}3^2}{2!}+\dfrac{e^{-3}3^3}{3!}=0,647$
			\item $P(C)=P(4\leq X\leq 6)=\dfrac{e^{-3}3^4}{4!}+\dfrac{e^{-3}3^5}{5!}+\dfrac{e^{-3}3^6}{6!}=0,319$
		\end{itemize}
	\item les rŽsultats obtenus diff�rent de moins de 1\%
\end{enumerate}

\vspace{2cm}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------
\exo

\begin{enumerate}
\item{L'Žquation diffŽrentielle
$$
   y'' -4y = 0
\leqno
   (E_0)
$$
a pour Žquation caractŽristique
$r^2-4=0$ qui a pour solutions $r=-2$ et $r=2$.\\
Donc la solution gŽnŽrale s'Žcrit sous la forme:
$y(x)=\lambda e^{-2x}+\mu e^{2x}$\quad avec $\lambda,\mu\in\R$}

\item{Pour vŽrifier que $g$ est solution de (E), on calcule $g''-4g$.\\

$$\displaystyle g'=\frac{4}{3}(e^{-2x}-2xe^{-2x})=\frac{4}{3}e^{-2x}(1-2x)$$
$$\displaystyle g''=\frac{4}{3}(-2e^{-2x}(1-2x)-2e^{-2x})=\frac{4}{3}e^{-2x}=\frac{-16}{3}e^{-2x}(1+x)$$
donc $\displaystyle g''-4g=\frac{-16}{3}e^{-2x}(1+x)-4\times\frac{4}{3}xe^{-2x}=\frac{-16}{3}e^{-2x}$\\
Donc g est bien solution de (E).

}
\item{L'ensemble des solutions de $(E)$ sont donc les fonctions de la forme:\\
$y(x)=\displaystyle \lambda e^{-2x}+\mu e^{2x}+\frac{4}{3}xe^{-2x}$\quad avec $\lambda,\mu\in\R$
}
\item{On a $\displaystyle h (0) = {4\over 3}$ ce qui donne $\displaystyle\lambda + \mu = {4\over 3}$\\
D'autre part, $h'(x)=-2\lambda e^{-2x}+2\mu e^{2x}+\frac{4}{3}e^{-2x}(1-2x)$\\
Comme $\displaystyle h' (0) = -{4\over 3}$, on a $\displaystyle -2\lambda+2\mu+\frac{4}{3}= -{4\over 3}$\\
On obtient le syst�me suivant:

		$$\left \{ \begin{array}{ccc} 
		\lambda + \mu = {4\over 3}\\ 
		-2\lambda+2\mu+\frac{4}{3}= -{4\over 3}\\ 
		\end{array} \right.$$

Et on trouve $$\lambda={4\over3}\quad et\quad\mu=0$$
La solution $h$ s'Žcrit donc:
$$h(x)={4\over3}e^{-2x}+\frac{4}{3}xe^{-2x}=\frac{4}{3}e^{-2x}(x+1)$$
}
\end{enumerate}




 \end{document}