\documentclass{article}
\usepackage{styles}
\usepackage{arrows}
\pagestyle{fancy}\fancyhf{}
\lhead{\textit{DS}}\lfoot{\textit{BTS 2}}
\rfoot{\emph{www.mathematic.fr}}

\begin{document}

\begin{center}{\huge{Devoir surveillŽ n¡1}}\end{center}

\vspace{1cm}

%------------------------------------------------------------------------------------------------------
\exe{4}

Un syst�me est formŽ de deux amplificateurs A et B qui n'interf�rent pas l'un sur l'autre. A partir d'un signal appliquŽ ˆ l'entrŽe E, on obtient un signal ˆ la sortie si au moins un des deux amplificateurs fonctionne.
\vspace{0,5cm}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{images/ampli.png}
\end{center}
\vspace{0,5cm}
On note respectivement les ŽvŽnements:\\
A: ÇÊA fonctionneÊÈ\\
B: ÇÊB fonctionneÊÈ\\
S: ÇÊil existe un signal ˆ la sortieÊÈ

\begin{enumerate}
\item{On suppose que $P(A)=0,8$, $P(B)=0,9$ et $P(A\cap B)=0,72$.\\
Calculer la probabilitŽ qu'il y ait un signal ˆ la sortie.\\
En dŽduire la probabilitŽ qu'il n'y ait pas de signal de sortie.}
\item{On suppose maintenant que A ne fonctionne pas dans 30 \% des cas, que B fonctionne dans 85\% des cas et que, dans 5\% des cas, on n'a pas de signal ˆ la sortie.\\
Calculer la probabilitŽ pour que A et B fonctionnent simultanŽment.}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------
\exe{8}

L'entreprise a fabriquŽ en un mois 900 chaudi�res ˆ cheminŽe et 600 chaudi�res ˆ ventouse. Dans ce lot, 1 \% des chaudi�res ˆ cheminŽe sont dŽfectueuses et 5 \% des chaudi�res ˆ ventouse sont dŽfectueuses.
On prŽl�ve au hasard un chaudi�re dans la production de ce mois. Toutes les chaudi�res ont la m�me probabilitŽ d'�tre prŽlevŽes.
On consid�re les ŽvŽnements suivants :\\
A : "La chaudi�re est ˆ cheminŽe" \\
B : "La chaudi�re est ˆ ventouse"\\
D : "La chaudi�re prŽsente un dŽfaut"\\

\begin{enumerate}
\item{DŽterminer $P(A)$, $P(B)$ , $P_A(D)$ et $P_B(D)$}
\item{Calculer $P(D\cap A)$ et $P(D\cap B)$}
\item{En remarquant que $D = (D\cap A)\cup(D\cap B)$ et que les ŽvŽnements $(D\cap A)$ et $(D\cap B)$ sont incompatibles, calculer $P(D$) et $P(\overline{D}$).}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}
%------------------------------------------------------------------------------------------------------
\exe{8}

On consid�re l'Žquation diffŽrentielle (E):
$$y'+y=(2x+3)e^{-x}$$
o� $y$ est une fonction de la variable rŽelle x, dŽfinie sur $\R$
\begin{enumerate}
	\item{RŽsoudre sur $\R$ l'Žquation diffŽrentielle $(E_0)$:
	$$y'+y=0$$}
	\item{VŽrifier que la fonction $g$ dŽfinie sur $\R$ par
	$$g(x)=(x^2+3x)e^{-x}$$
	est une solution particuli�re de l'Žquation diffŽrentielle (E).}
	\item{RŽsoudre sur $\R$ l'Žquation diffŽrentielle $(E)$.}
	\item{DŽterminer la solution $f$ de cette Žquation qui vŽrifie la condition initiale $f(0)=1$.}
\end{enumerate}

 \end{document}